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手拉手模型

依偎模型

对角互补邻边相等模型+同旁等张角模型（四点共圆孪生模型）

婆罗摩笈多是古印度的一位数学家和天文学家。

婆罗摩笈多模型是初中几何中的一个基本模型。如图1，正方形ABCD和正方形AEFG有共同的顶点A，连接DG，BE即构成婆罗摩笈多模型。省去部分线条，如图2，共顶点的等腰Rt△ABD和等腰Rt△AEF，连接DG，BE也构成婆罗摩笈多模型；如图3则是该模型的极简版本。

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这里要留意婆罗摩笈多模型和等腰直角三角形构成的手拉手模型之间的区别。如图4，连接DE，BG所得的就是手拉手模型。

有的资料把等腰直角三角形构成的手拉手模型也归为婆罗摩笈多模型的一种情况，这是很混淆视线的做法，因为这两个模型的基本特征和结论完全不同。

那么怎么区分这两个模型呢？

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如图5，我们在整个图形的外围，从其中一个等腰直角三角形的一条直角边出发，就近往它的另外一条直角边的方向绕圈，这样就先后经过两个等腰直角三角形的所有4条直角边，对每个等腰直角三角形而言，先经过的直角边标为1号边，后经过的标为2号边。

如果彼此的1号边和2号边连接，则构成婆罗摩笈多模型（如图6），如果彼此的1号边和1号边连接，2号边和2号边连接，则构成手拉手模型（如图7）。

当然，这两个模型其实是可以相互转化的兼职美工，后面我会讲到。

  婆罗摩笈多模型的基本结论 

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过点A作直线分别交BE于M，交DG于H.

结论①【中点得垂直】：如图8，若M为BE中点，则AH⊥DG；相应地，如图9，若H为DG中点，则AM⊥BE；结论②【垂直过中点】：如图8，若AH⊥DG，则M为BE中点；相应地，如图9，若AM⊥BE，H为DG中点；结论③：如图8，若M为BE中点，则2AM＝DG；相应地，如图9，若H为DG中点，则2AH＝BE；结论④：如图10，△ABE和△ADG面积相等.

【结论①③④的证明】由中点证垂直

如图11，等腰Rt△ABD和等腰Rt△AGE，过点A作直线分别交BE于M，交DG于H.若点M为BE中点，求证：①AH⊥DG；③2AM＝DG；④△ABE和△ADG面积相等.

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延长AM至N，使AM＝MN，连接BN（中线倍长），易证△MAE≌△MNB（SAS），可得AE＝NB，AE∥NB.再证△ABN≌△DAG，此处是一个难点。

证明三角形全等要找到三组对应的边角相等，其中，BN＝AG和AB＝DA相对容易得到，在此基础上，要想证明△ABN≌△DAG，有两个备选方案：一是再证第三组对应边（AN和DG）也相等，而这是有待证明的目标，不可能作为条件出现，方案否决；二是再找一组对应角，而且只能找两组对应边的夹角也即∠ABN和∠DAG相等——在做几何题的时候，遇到像这样没有多余选择反倒是好事，这实际上给我们指明了解题方向，并逼着我们往前走，而不是在原地徘徊犹豫。

找到解题方向之后，剩下的事情都是顺理成章水到渠成。

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由AE∥NB可得∠ABN＋∠BAE＝180°，又由∠DAG＋∠BAE＝180°可得∠ABN＝∠DAG，进而△ABN≌△DAG.于是DG＝AN＝2AM（结论③得证）；∠ADG＋∠DAH＝∠BAN＋∠DAH＝90°，进而AH⊥DG（结论①得证）；易证△ABE和△ABN进而和△ADG面积相等（结论④得证）。

上述用的辅助线方法是“中线倍长”，但我个人更偏爱通用性更好的“化Y为X构造平行8字”（“平行8字”意味着两个三角形三组对应角都相等，只要再找一组对应边相等即全等）：过B作BN∥AE交AM延长线于N，易证△MAE≌△MNB，电商美工外包网后续证明基本相同。

【结论②③④的证明】由垂直证中点

如图14，等腰Rt△ABD和等腰Rt△AGE，过点A作直线分别交BE于M，交DG于H.若AH⊥DG，求证：②M为BE中点；③2AM＝DG；④△ABE和△ADG面积相等.

此处不能“中线倍长”，但是可以“化Y为X构造平行8字”。

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过B作BN∥AE交AM延长线于N，先证∠ABN＝∠DAG，再证∠ADG＝∠BAN，再结合AB＝AD可得△ABN≌△DAG（ASA），于是BN＝AG＝AE，再证△MAE≌△MNB，所以M为BE中点（结论②得证），后续结论③④的证明和前面类似。

由垂直证中点有一个隐蔽的出题角度：如图17，此时AG与AH合二为一，但证明过程及结论完全一样。

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  婆罗摩笈多模型的其他结论 

如图18，连接CF，AH⊥BE于H.结论⑤：若T为CF中点，M为BE中点，连接TM，则TM⊥BE；结论⑥：若A在四边形BEFC内部，则四边形BEFC的面积与AH和BE的长度存在等量关系.

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具体的证明可构造三垂直来完成：

如图19，作CQ⊥BE于Q，作FP⊥BE于P，易证△CQB≌△BHA，△AHE≌△EPF，得CQ＝BH，FP＝HE，AH＝BQ＝EP，所以M为PQ的中点，从而TM为直角梯形FPQC的中位线，TM⊥PQ（结论⑤得证）；

SBEFC＝S梯FPQC－S△CQB－S△FPE，不妨设CQ＝BH＝m，FP＝HE＝n，AH＝BQ＝EP＝t，则：

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任何一个模型，总可以搞出很多条额外的“结论”，但实在没有必要去收集这些所谓的“结论”，更不必对结论为了记而记。学习几何模型，熟悉够用的基本结论及其辅助线方法即可，真正重要的是锻炼在各种命题角度下迅速辨认模型的能力。

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比如在婆罗摩笈多模型中，当两个等腰直角三角形有重叠部分的时候，模型的基本结论还是一样的，证明路径也几乎一样（如图20—22）。但很多学生面对这种命题角度就辨认不出模型了。

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  婆罗摩笈多模型与手拉手模型的转化（涉及八下内容） 

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如图23，等腰Rt△ABD和等腰Rt△AGE，过点A作直线分别交BE于M，交DG于H.如图24，延长GA到K，使AK＝AG，连接KE，KD，则A为GK中点，△AKE为等腰直角三角形，且等腰Rt△ABD和等腰Rt△AKE构成手拉手模型，从而可证△ADK≌△ABE（SAS），得BE＝DK，S△ABE＝S△ADK，并可证BE⊥DK.①若已知M为DG中点，则S△ADG＝S△ADK＝S△ABE，以及MA为△GDK的中位线，于是2AM＝DK＝BE，以及MH∥DK，进而BE⊥MH.②若已知AH⊥BE，后续的结论证明读者可自行尝试。

最后补充一个婆罗摩笈多模型的总结图。如图25，图中标记相同颜色的三角形都是全等的。

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